XV. Дробные выражения (математика, 6 класс)
В этом уроке введем понятие дробного выражения, а также будем сокращать дробное выражение и вычислять его значение.
Вспомним пройденное
- Дробь
— одна или несколько частей целого. Дроби записывают двумя натуральными числами, разделенными чертой:
a|b
- Знаменатель дроби
— число, записанное под чертой, показывающее, на сколько равных частей разделили целое.
- Числитель дроби
— число, записанное над чертой, показывающее, сколько таких частей взяли.
- Правильная дробь
— дробь, в которой числитель меньше знаменателя.
- Неправильная дробь
— дробь, в которой числитель равен или больше знаменателя.
- Взаимно обратные дроби
— две дроби, обладающие тем свойством, что числитель первой является знаменателем второй, а знаменатель первой является числителем второй.
- Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями
, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним:
a|c
+
b|c
=
a+b|c
- Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями
, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним:
a|c
-
b|c
=
a-b|c
- Дробь — это деление
числителя на знаменатель, а деление – это та же самая дробь, где числителем будет делимое, а знаменателем – делитель:
a
:
b
=
a|b
или
a|b
=
a
:
b
- Смешанное число
— число, содержащее целую и дробную часть.
- Чтобы представить неправильную дробь в виде смешанного числа
, нужно: 1) числитель разделить на знаменатель с остатком; 2) частное от деления записать в целую часть, остаток от деления — в числитель дробной части, а знаменатель дробной части оставить тем же.
- Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби
, нужно: 1) целую часть умножить на знаменатель дробной, прибавить к ней числитель дробной часть и сумму записать в числитель получившейся неправильной дроби; 2) знаменатель оставить тем же.
- Чтобы сложить два смешанных числа
, нужно отдельно сложить их целые и дробные части; если дробная часть оказалась неправильной дробью, то есть больше 1, то выделить в ней целую часть и прибавить ее к целой части, полученной на предыдущем шаге.
- Чтобы найти разность двух смешанных чисел
, нужно: из целой части уменьшаемого вычесть целую часть вычитаемого, из дробной части уменьшаемого вычесть дробную часть вычитаемого; если дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого, то занимаем одну единицу от целой части уменьшаемого и представляем ее в виде дроби.
- Основное свойство дроби
: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь:
a|b
=
a∙c|b∙c
или
a|b
=
a:c|b:c
- Сократить дробь
— значит разделить числитель и знаменатель на их общий делитель, отличный от 1.
- Несократимая дробь
— дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме 1, то есть являются взаимно простыми числами.
- Чтобы сократить дробь до несократимой
, надо разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.
- Общий знаменатель двух дробей
— это общее кратное их знаменателей
- Чтобы привести две дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно
: 1) найти наименьшее общее кратное их знаменателей, то есть наименьший общий знаменатель; 2) найти дополнительный множитель для каждой дроби, разделив наименьший общий знаменатель на знаменатель данной дроби; 3) числитель и знаменатель каждой дроби умножить на соответствующий дополнительный множитель.
- Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо
: 1) привести их к общему знаменателю; 2) сложить или вычесть как дроби с одинаковыми знаменателями.
- При умножении дроби на целое число
числитель этой дроби умножается на это число, а знаменатель остается неизменным:
n
∙
a|b
=
n∙a|b
- При умножении двух дробей
получается дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель равен произведению знаменателей:
a|b
∙
c|d
=
a∙c|b∙d
- Чтобы найти дробь от числа
, нужно число умножить на эту дробь.
- Чтобы разделить одну дробь на другую
, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю:
a|b
:
c|d
=
a|b
∙
d|c
=
a∙d|b∙c
- Чтобы найти число по значению его дроби
, надо это значение разделить на дробь.
Что такое дробное выражение
Из четвертого урока мы знаем, что дробную черту можно заменить знаком деления и наоборот. Например:
4|7
=
4
:
7
4
:
7
=
4|7
А что, если мы одно выражение делим на другое? Можем ли мы записать это с помощью дробной черты? Да. Например:
(
3
-
1
)
:
(
12
∙
(
3
+
5
))
=
3-1|12∙(3+5)
Правило!
Частное двух чисел или выражений, в которых знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.
Выражение, стоящее над чертой, называют <b>числителем дробного выражения</b>.
Выражение, стоящее под чертой, называют <b>знаменателем дробного выражения</b>.
Числителем и знаменателем дробного выражения могут быть любые числа, числовые или буквенные выражения.
Примеры дробных выражений:
x∙(3-y)|y+21∙x
,
2,6|30,4
,
4-(3,4+2)|13,1
,
7|11
,
3|7
+
8
10
,
5|17
+
4
3|7
1|2
:
3|10
Дробные выражения, в числителе и/или знаменателе которых присутствуют обыкновенные дроби, обычно называют <b>многоэтажными дробными выражениями</b>.
Что мы можем делать с дробными выражениями? Упрощать и вычислять их значение.
Пример 1.
Упростить дробное выражение
21x+3y|21
21x+3y|21
=
21x|21
+
3y|21
=
x
+
y|7
В данном примере мы воспользовались правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями, вынесли слагаемые из-под одной черты, а потом сократили первую дробь на 21, а вторую дробь на 3. И вот выражение уже выглядит проще и понятнее.
При вычислении дробных выражений лучше всего вычислить значение числителя, потом вычислить значение знаменателя, а потом поделить значение числителя на значение знаменателя.
Вычисляем значение дробного выражения
Пример 2.
Вычислить значение дробного выражения, содержащего десятичные дроби
4,7+0,7|0,55+0,35
Решение:
4,7+0,7|0,55+0,35
=
5,4|0,9
=
54|9
=
6
Пример 3.
Вычислить значение трехэтажного дробного выражения
7|48
:
5|8
14
Решение:
7|48
:
5|8
14
=
7|48
∙
8|5
14
=
7|30
14
=
=
7|30
:
14
=
7|30∙14
=
1|60
В данном примере сначала вычисляем значение числителя, разделив дроби, затем получившуюся дробь делим на знаменатель 14.
Пример 4.
Вычислить значение четырехэтажного дробного выражения
3|4
∙
1|2
4|5
-
1|5
Решение:
3|4
∙
1|2
4|5
-
1|5
=
3|8
3|5
=
3|8
:
3|5
=
3|8
∙
5|3
=
5|8
Вычисляем значения числителя и знаменателя. И числитель, и знаменатель получаются правильными дробями. Затем дробь-числитель делим на дробь-знаменатель.
Пример 5.
Вычислить значение дробного выражения
7|10
∙
5|7
48|62
:
8|9
Решение:
7|10
∙
5|7
48|62
:
8|9
=
5|10
48|62
∙
9|8
=
1|2
3∙9|31
=
=
1|2
:
27|31
=
1|2
∙
31|27
=
31|54
Пример 6.
Вычислить значение дробного выражения, содержащего смешанные числа
5
2|3
-
4
1|3
30
-
27
5|6
Решение:
5
2|3
-
4
1|3
30
-
27
5|6
=
1
1|3
2
1|6
=
4|3
13|6
=
=
4|3
:
13|6
=
4|3
∙
6|13
=
8|13
В данном примере отдельно в числителе вычисляем разность смешанных чисел, и в знаменателе считаем разность смешанных чисел, затем смешанные числа в числителе и знаменателе представляем в виде неправильных дробей. После этого делим числитель на знаменатель, и получаем в результате правильную дробь.
Пример 7.
Вычислить значение дробного выражения, содержащего целые, десятичные, смешанные числа
1,6
:
1|2
(
1
1|5
+
2
)
∙
0,5
∙
8
Решение:
1,6
:
1|2
(
1
1|5
+
2
)
∙
0,5
∙
8
=
1
6|10
:
1|2
3
1|5
∙
5|10
∙
8
=
=
16|10
∙
2
16|5
∙
5|10
∙
8
=
32|10
8|5
∙
8
=
=
16|5
64|5
=
16|5
:
64|5
=
16|5
∙
5|64
=
1|4
В данном примере мы десятичные дроби представляли в виде обыкновенных и также вычисляли значения числителя и знаменателя. Затем делили числитель и знаменатель, сокращая при этом дробь на 5 и 16. В ответе получилась правильная дробь.
Научитесь вычислять значения дробных выражений с тренажером
Тренажер
Найдите значение дробного выражения
Видеоурок «Нахождение числа по его дроби»
Нет времени читать урок? Хотите закрепить материал дополнительно? Ребенку больше нравится, когда тему объясняют вслух? Включите видео!
Рассказываем про дробные выражения и подробно разбираем, как упрощать их и вычислять их значения.
Скачайте задачи по теме в PDF
Хочется меньше синих мониторов? Для дополнительной практики дома используйте наш сборник примеров и задач по дробям. Разборы заданий с ответами уже внутри.
Хотите порешать примеры на листочке? Мы подготовили их в формате PDF
Не забывайте: на сайте множество классных тренажеров, которые облегчат изучение математики, русского и английского.
Сообщество
инициативных родителей
Присоединяйтесь к нашему сообществу — тут мы пишем новости
и интересности в сфере образования, а также делимся идеями
и появлением новых разделов на сайте. А еще с упоением читаем
ваши комментарии. 🧡
Если вам нравится СлонУм, пожалуйста, поддержите нас — так вы ускорите разработку новых тренажеров и разделов 🚀
