XV. Дробные выражения (математика, 6 класс)
В этом уроке введем понятие дробного выражения, а также будем сокращать дробное выражение и вычислять его значение.
Вспомним пройденное
- Дробь
— одна или несколько частей целого. Дроби записывают двумя натуральными числами, разделенными чертой:
a|b
- Знаменатель дроби
— число, записанное под чертой, показывающее, на сколько равных частей разделили целое.
- Числитель дроби
— число, записанное над чертой, показывающее, сколько таких частей взяли.
- Правильная дробь
— дробь, в которой числитель меньше знаменателя.
- Неправильная дробь
— дробь, в которой числитель равен или больше знаменателя.
- Взаимно обратные дроби
— две дроби, обладающие тем свойством, что числитель первой является знаменателем второй, а знаменатель первой является числителем второй.
- Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями
, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним:
a|c
+
b|c
=
a+b|c
- Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями
, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним:
a|c
-
b|c
=
a-b|c
- Дробь — это деление
числителя на знаменатель, а деление – это та же самая дробь, где числителем будет делимое, а знаменателем – делитель:
a
:
b
=
a|b
или
a|b
=
a
:
b
- Смешанное число
— число, содержащее целую и дробную часть.
- Чтобы представить неправильную дробь в виде смешанного числа
, нужно: 1) числитель разделить на знаменатель с остатком; 2) частное от деления записать в целую часть, остаток от деления — в числитель дробной части, а знаменатель дробной части оставить тем же.
- Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби
, нужно: 1) целую часть умножить на знаменатель дробной, прибавить к ней числитель дробной часть и сумму записать в числитель получившейся неправильной дроби; 2) знаменатель оставить тем же.
- Чтобы сложить два смешанных числа
, нужно отдельно сложить их целые и дробные части; если дробная часть оказалась неправильной дробью, то есть больше 1, то выделить в ней целую часть и прибавить ее к целой части, полученной на предыдущем шаге.
- Чтобы найти разность двух смешанных чисел
, нужно: из целой части уменьшаемого вычесть целую часть вычитаемого, из дробной части уменьшаемого вычесть дробную часть вычитаемого; если дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого, то занимаем одну единицу от целой части уменьшаемого и представляем ее в виде дроби.
- Основное свойство дроби
: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь:
a|b
=
a∙c|b∙c
или
a|b
=
a:c|b:c
- Сократить дробь
— значит разделить числитель и знаменатель на их общий делитель, отличный от 1.
- Несократимая дробь
— дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме 1, то есть являются взаимно простыми числами.
- Чтобы сократить дробь до несократимой
, надо разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.
- Общий знаменатель двух дробей
— это общее кратное их знаменателей
- Чтобы привести две дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно
: 1) найти наименьшее общее кратное их знаменателей, то есть наименьший общий знаменатель; 2) найти дополнительный множитель для каждой дроби, разделив наименьший общий знаменатель на знаменатель данной дроби; 3) числитель и знаменатель каждой дроби умножить на соответствующий дополнительный множитель.
- Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо
: 1) привести их к общему знаменателю; 2) сложить или вычесть как дроби с одинаковыми знаменателями.
- При умножении дроби на целое число
числитель этой дроби умножается на это число, а знаменатель остается неизменным:
n
∙
a|b
=
n∙a|b
- При умножении двух дробей
получается дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель равен произведению знаменателей:
a|b
∙
c|d
=
a∙c|b∙d
- Чтобы найти дробь от числа
, нужно число умножить на эту дробь.
- Чтобы разделить одну дробь на другую
, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю:
a|b
:
c|d
=
a|b
∙
d|c
=
a∙d|b∙c
- Чтобы найти число по значению его дроби
, надо это значение разделить на дробь.
Что такое дробное выражение
Из четвертого урока мы знаем, что дробную черту можно заменить знаком деления и наоборот. Например:
4|7
=
4
:
7
4
:
7
=
4|7
А что, если мы одно выражение делим на другое? Можем ли мы записать это с помощью дробной черты? Да. Например:
(
3
-
1
)
:
(
12
∙
(
3
+
5
))
=
3-1|12∙(3+5)
Правило!
Частное двух чисел или выражений, в которых знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.
Выражение, стоящее над чертой, называют <b>числителем дробного выражения</b>.
Выражение, стоящее под чертой, называют <b>знаменателем дробного выражения</b>.
Числителем и знаменателем дробного выражения могут быть любые числа, числовые или буквенные выражения.
Примеры дробных выражений:
x∙(3-y)|y+21∙x
,
2,6|30,4
,
4-(3,4+2)|13,1
,
7|11
,
3|7
+
8
10
,
5|17
+
4
3|7
1|2
:
3|10
Дробные выражения, в числителе и/или знаменателе которых присутствуют обыкновенные дроби, обычно называют <b>многоэтажными дробными выражениями</b>.
Что мы можем делать с дробными выражениями? Упрощать и вычислять их значение.
Пример 1.
Упростить дробное выражение
21x+3y|21
21x+3y|21
=
21x|21
+
3y|21
=
x
+
y|7
В данном примере мы воспользовались правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями, вынесли слагаемые из-под одной черты, а потом сократили первую дробь на 21, а вторую дробь на 3. И вот выражение уже выглядит проще и понятнее.
При вычислении дробных выражений лучше всего вычислить значение числителя, потом вычислить значение знаменателя, а потом поделить значение числителя на значение знаменателя.
Вычисляем значение дробного выражения
Пример 2.
Вычислить значение дробного выражения, содержащего десятичные дроби
4,7+0,7|0,55+0,35
Решение:
4,7+0,7|0,55+0,35
=
5,4|0,9
=
54|9
=
6
Пример 3.
Вычислить значение трехэтажного дробного выражения
7|48
:
5|8
14
Решение:
7|48
:
5|8
14
=
7|48
∙
8|5
14
=
7|30
14
=
=
7|30
:
14
=
7|30∙14
=
1|60
В данном примере сначала вычисляем значение числителя, разделив дроби, затем получившуюся дробь делим на знаменатель 14.
Пример 4.
Вычислить значение четырехэтажного дробного выражения
3|4
∙
1|2
4|5
-
1|5
Решение:
3|4
∙
1|2
4|5
-
1|5
=
3|8
3|5
=
3|8
:
3|5
=
3|8
∙
5|3
=
5|8
Вычисляем значения числителя и знаменателя. И числитель, и знаменатель получаются правильными дробями. Затем дробь-числитель делим на дробь-знаменатель.
Пример 5.
Вычислить значение дробного выражения
7|10
∙
5|7
48|62
:
8|9
Решение:
7|10
∙
5|7
48|62
:
8|9
=
5|10
48|62
∙
9|8
=
1|2
3∙9|31
=
=
1|2
:
27|31
=
1|2
∙
31|27
=
31|54
Пример 6.
Вычислить значение дробного выражения, содержащего смешанные числа
5
2|3
-
4
1|3
30
-
27
5|6
Решение:
5
2|3
-
4
1|3
30
-
27
5|6
=
1
1|3
2
1|6
=
4|3
13|6
=
=
4|3
:
13|6
=
4|3
∙
6|13
=
8|13
В данном примере отдельно в числителе вычисляем разность смешанных чисел, и в знаменателе считаем разность смешанных чисел, затем смешанные числа в числителе и знаменателе представляем в виде неправильных дробей. После этого делим числитель на знаменатель, и получаем в результате правильную дробь.
Пример 7.
Вычислить значение дробного выражения, содержащего целые, десятичные, смешанные числа
1,6
:
1|2
(
1
1|5
+
2
)
∙
0,5
∙
8
Решение:
1,6
:
1|2
(
1
1|5
+
2
)
∙
0,5
∙
8
=
1
6|10
:
1|2
3
1|5
∙
5|10
∙
8
=
=
16|10
∙
2
16|5
∙
5|10
∙
8
=
32|10
8|5
∙
8
=
=
16|5
64|5
=
16|5
:
64|5
=
16|5
∙
5|64
=
1|4
В данном примере мы десятичные дроби представляли в виде обыкновенных и также вычисляли значения числителя и знаменателя. Затем делили числитель и знаменатель, сокращая при этом дробь на 5 и 16. В ответе получилась правильная дробь.
Научитесь вычислять значения дробных выражений с тренажером
Тренажер
Найдите значение дробного выражения
![](/_next/image?url=%2F_next%2Fstatic%2Fmedia%2F1.1a1f107c.png&w=3840&q=75)
Видеоурок «Нахождение числа по его дроби»
Нет времени читать урок? Хотите закрепить материал дополнительно? Ребенку больше нравится, когда тему объясняют вслух? Включите видео!
Рассказываем про дробные выражения и подробно разбираем, как упрощать их и вычислять их значения.
Скачайте задачи по теме в PDF
Хочется меньше синих мониторов? Для дополнительной практики дома используйте наш сборник примеров и задач по дробям. Разборы заданий с ответами уже внутри.
Хотите порешать примеры на листочке? Мы подготовили их в формате PDF
![pdf](/_next/image?url=%2F_next%2Fstatic%2Fmedia%2Fpdf.7a6d3048.webp&w=1920&q=75)
Не забывайте: на сайте множество классных тренажеров, которые облегчат изучение математики, русского и английского.
![коллектив родителей на школьном собрании](/_next/image?url=%2F_next%2Fstatic%2Fmedia%2Fcommunity.6cfa29d7.webp&w=3840&q=75)
Сообщество
инициативных родителей
Присоединяйтесь к нашему сообществу — тут мы пишем новости
и интересности в сфере образования, а также делимся идеями
и появлением новых разделов на сайте. А еще с упоением читаем
ваши комментарии. 🧡
Если вам нравится СлонУм, пожалуйста, поддержите нас — так вы ускорите разработку новых тренажеров и разделов 🚀
![love](/_next/image?url=%2F_next%2Fstatic%2Fmedia%2Fblue.546e3ab2.png&w=640&q=75)