XI. Умножение дробей (математика, 6 класс)
В этом уроке научимся умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь, рассмотрим случаи умножения на смешанное число. Порешаем часто встречающиеся в выражениях случаи умножения дроби на сумму дробей и на разность дробей.
Содержание урока
Вспомним пройденное
Как умножить дробь на натуральное число
Умножаем дробь на натуральное число
Как умножить дробь на дробь
Умножаем дробь на дробь
Как умножить на смешанное число
Умножаем на смешанное число
Тренажер «Выполните умножение»
Умножаем дробь на сумму дробей, разность дробей
Тренажер «Умножьте дробь на сумму/разность дробей»
Видеоурок «Умножение дробей»
Сборник задач от СлонУма
Вспомним пройденное
- Дробь
— одна или несколько частей целого. Дроби записывают двумя натуральными числами, разделенными чертой:
a|b
- Знаменатель дроби
— число, записанное под чертой, показывающее, на сколько равных частей разделили целое.
- Числитель дроби
— число, записанное над чертой, показывающее, сколько таких частей взяли.
- Правильная дробь
— дробь, в которой числитель меньше знаменателя.
- Неправильная дробь
— дробь, в которой числитель равен или больше знаменателя.
- Взаимно обратные дроби
— две дроби, обладающие тем свойством, что числитель первой является знаменателем второй, а знаменатель первой является числителем второй.
- Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями
, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним:
a|c
+
b|c
=
a+b|c
- Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями
, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним:
a|c
-
b|c
=
a-b|c
- Дробь — это деление
числителя на знаменатель, а деление – это та же самая дробь, где числителем будет делимое, а знаменателем – делитель:
a
:
b
=
a|b
или
a|b
=
a
:
b
- Смешанное число
— число, содержащее целую и дробную часть.
- Чтобы представить неправильную дробь в виде смешанного числа
, нужно: 1) числитель разделить на знаменатель с остатком; 2) частное от деления записать в целую часть, остаток от деления — в числитель дробной части, а знаменатель дробной части оставить тем же.
- Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби
, нужно: 1) целую часть умножить на знаменатель дробной, прибавить к ней числитель дробной часть и сумму записать в числитель получившейся неправильной дроби; 2) знаменатель оставить тем же.
- Чтобы сложить два смешанных числа
, нужно отдельно сложить их целые и дробные части; если дробная часть оказалась неправильной дробью, то есть больше 1, то выделить в ней целую часть и прибавить ее к целой части, полученной на предыдущем шаге.
- Чтобы найти разность двух смешанных чисел
, нужно: из целой части уменьшаемого вычесть целую часть вычитаемого, из дробной части уменьшаемого вычесть дробную часть вычитаемого; если дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого, то занимаем одну единицу от целой части уменьшаемого и представляем ее в виде дроби.
- Основное свойство дроби
: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь:
a|b
=
a∙c|b∙c
или
a|b
=
a:c|b:c
- Сократить дробь
— значит разделить числитель и знаменатель на их общий делитель, отличный от 1.
- Несократимая дробь
— дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме 1, то есть являются взаимно простыми числами.
- Чтобы сократить дробь до несократимой
, надо разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.
- Общий знаменатель двух дробей
— это общее кратное их знаменателей
- Чтобы привести две дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно
: 1) найти наименьшее общее кратное их знаменателей, то есть наименьший общий знаменатель; 2) найти дополнительный множитель для каждой дроби, разделив наименьший общий знаменатель на знаменатель данной дроби; 3) числитель и знаменатель каждой дроби умножить на соответствующий дополнительный множитель.
- Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо
: 1) привести их к общему знаменателю; 2) сложить или вычесть как дроби с одинаковыми знаменателями.
Как умножить дробь на натуральное число
Давайте попробуем взять одну и ту же дробь несколько раз. К примеру, дробь
2|10
:
2
∙
2|10
=
2|10
+
2|10
=
4|10
3
∙
2|10
=
2|10
+
2|10
+
2|10
=
6|10
4
∙
2|10
=
2|10
+
2|10
+
2|10
+
2|10
=
8|10
Правило!
При умножении дроби на целое число числитель этой дроби умножается на это число, а знаменатель остается неизменным:
n
∙
a|b
=
n∙a|b
Например,
10
∙
3|5
=
10∙3|5
=
5∙2∙3|5
=
6|1
=
6
Умножаем дробь на натуральное число
Пример 1.
3|8
∙
7
Решение:
=
3∙7|8
=
21|8
=
2
5|8
Пример 2.
5
∙
9|49
Решение:
=
5∙9|49
=
45|49
Пример 3.
67|355
∙
25
Решение:
=
67∙25|355
=
67∙5∙5|71∙5
=
335|71
=
4
51|71
Как умножить дробь на дробь
А что, если мы дробь возьмем не целое количество раз, а дробное, то есть, возьмем, к примеру, дробь
6|10
не 2, не 3 раза, а половину раз, треть раз.
Половина от
6|10
будет
3|10
, то есть
1|2
∙
6|10
=
3|10
Треть от
6|10
будет
2|10
, то есть
1|3
∙
6|10
=
2|10
Правило!
При умножении двух дробей получается дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель равен произведению знаменателей:
a|b
∙
c|d
=
a∙c|b∙d
Попробуем умножить дробь на дробь:
7|8
∙
13|14
=
7∙13|8∙14
=
7∙13|8∙2∙7
=
13|16
5|9
∙
93|100
=
5∙93|9∙100
=
5∙3∙31|3∙3∙5∙20
=
31|60
Давайте попробуем умножить две взаимно обратные дроби:
7|9
∙
9|7
=
7∙9|9∙7
=
1
Умножаем дробь на дробь
Пример 4.
7|9
∙
5|11
Решение:
=
7∙5|9∙11
=
35|99
Пример 5.
45|63
∙
7|9
Решение:
=
45∙7|63∙9
=
5∙9∙7|7∙9∙9
=
5|9
Пример 6.
3|10
∙
7|100
Решение:
=
3∙7|10∙100
=
21|1000
Как умножить дробь на смешанное число
Попробуем умножить натуральное число на смешанное, представив его как сумму целого числа и дробного:
5
∙
3
4|7
=
5
∙
(
3
+
4|7
)
=
5
∙
3
+
5
∙
4|7
=
15
+
5∙4|7
=
=
15
+
20|7
=
17
6|7
А можно смешанное число представить в виде неправильной дроби и умножить целое число на неправильную дробь:
5
∙
3
4|7
=
5
∙
25|7
=
5∙25|7
=
125|7
=
17
6|7
Как видим, во втором случае шагов меньше. Поэтому при умножении на смешанное число обычно смешанное число представляют в виде неправильной дроби и умножают на дробь.
Например:
5|8
∙
3
4|9
=
5|8
∙
31|9
=
5∙31|8∙9
=
155|72
=
2
11|72
10
5|7
∙
5
3|5
=
75|7
∙
28|5
=
75∙28|7∙5
=
15∙5∙4∙7|7∙5
=
60
Умножаем на смешанное число
Пример 7.
3
∙
5
4|9
Решение:
=
3∙49|9
=
3∙49|3∙3
=
49|3
=
16
1|3
Пример 8.
5|9
∙
3
11|20
Решение:
=
5|9
∙
71|20
=
5∙71|9∙5∙4
=
71|36
=
1
35|36
Пример 9.
13
3|4
∙
5
9|10
Решение:
=
55|4
∙
59|10
=
55∙59|4∙10
=
5∙11∙59|4∙2∙5
=
649|8
=
81
1|8
Повторение — мать учения: тренируйте умножение дробей
Тренажер
Выполните умножение
Как умножить дробь на сумму дробей или разность дробей
Для дробей работают свойства умножения:
a|b
∙
c|d
=
c|d
∙
a|b
— переместительное свойство умножения
(
a|b
∙
c|d
)
∙
e|f
=
a|b
∙
(
c|d
∙
e|f
)
— сочетательное свойство умножения
(
a|b
+
c|d
)
∙
e|f
=
a|b
∙
e|f
+
c|d
∙
e|f
— распределительное свойство умножения относительно сложения
(
a|b
-
c|d
)
∙
e|f
=
a|b
∙
e|f
-
c|d
∙
e|f
— распределительное свойство умножения относительно вычитания
Поэтому при умножении дроби на сумму дробей можно либо сначала вычислить сумму, а потом умножить ее на дробь, либо раскрыть скобки и каждое слагаемое умножить на дробь. То же самое касается и умножения разности на дробь.
Например:
(
3|4
+
1|2
)
∙
5|7
=
(
3|4
+
2|4
)
∙
5|7
=
5|4
∙
5|7
=
25|28
(
3|8
-
1|8
)
∙
24|25
=
2|8
∙
24|25
=
1|4
∙
24|25
=
6|25
Умножаем дробь на сумму дробей или разность дробей
Пример 10.
(
2|3
+
1|6
)
∙
6|7
=
2|3
∙
6|7
+
1|6
∙
6|7
=
2∙2|7
+
1|7
=
4|7
+
1|7
=
5|7
Пример 11.
(
4|5
-
1|5
)
∙
3|10
=
3|5
∙
3|10
=
9|50
Попробуйте самостоятельно
Тренажер
Умножьте дробь на сумму, разность
Видеоурок «Умножение дробей»
Нет времени читать урок? Хотите закрепить материал дополнительно? Ребенку больше нравится, когда тему объясняют вслух? Включите видео!
Показываем и подробно объясняем, как умножать дроби друг на друга, на натуральные и смешанные числа. Разбираем задачи и примеры, даем упражнения на закрепление
Скачайте задачи по теме в PDF
Хочется меньше синих мониторов? Для дополнительной практики дома используйте наш сборник примеров и задач по дробям. Разборы заданий с ответами уже внутри.
Хотите порешать примеры на листочке? Мы подготовили их в формате PDF
Не забывайте: на сайте множество классных тренажеров, которые облегчат изучение математики, русского и английского.
Сообщество
инициативных родителей
Присоединяйтесь к нашему сообществу — тут мы пишем новости
и интересности в сфере образования, а также делимся идеями
и появлением новых разделов на сайте. А еще с упоением читаем
ваши комментарии. 🧡
Если вам нравится СлонУм, пожалуйста, поддержите нас — так вы ускорите разработку новых тренажеров и разделов 🚀
