X. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (6 класс)
Узнаем, по какому правилу складываются и вычитаются дроби с разными знаменателями, потренируемся складывать и вычитать дроби и смешанные числа с разными знаменателями.
Содержание урока
Вспомним пройденное
Правило сложения и вычитания дробей с разными знаменателями
Складываем дроби с разными знаменателями
Тренажер «Сложите дроби с разными знаменателями»
Вычитаем дроби с разными знаменателями
Тренажер «Вычтите дроби с разными знаменателями»
Вычисляем значение выражения
Тренажер «Вычислите значение выражения»
Учимся складывать и вычитать смешанные числа с разными знаменателями
Видеоурок «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями»
Сборник задач от СлонУма
Вспомним пройденное
- Дробь
— одна или несколько частей целого. Дроби записывают двумя натуральными числами, разделенными чертой:
a|b
- Знаменатель дроби
— число, записанное под чертой, показывающее, на сколько равных частей разделили целое.
- Числитель дроби
— число, записанное над чертой, показывающее, сколько таких частей взяли.
- Правильная дробь
— дробь, в которой числитель меньше знаменателя.
- Неправильная дробь
— дробь, в которой числитель равен или больше знаменателя.
- Взаимно обратные дроби
— две дроби, обладающие тем свойством, что числитель первой является знаменателем второй, а знаменатель первой является числителем второй.
- Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями
, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним:
a|c
+
b|c
=
a+b|c
- Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями
, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним:
a|c
-
b|c
=
a-b|c
- Дробь — это деление
числителя на знаменатель, а деление – это та же самая дробь, где числителем будет делимое, а знаменателем – делитель:
a
:
b
=
a|b
или
a|b
=
a
:
b
- Смешанное число
— число, содержащее целую и дробную часть.
- Чтобы представить неправильную дробь в виде смешанного числа
, нужно: 1) числитель разделить на знаменатель с остатком; 2) частное от деления записать в целую часть, остаток от деления — в числитель дробной части, а знаменатель дробной части оставить тем же.
- Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби
, нужно: 1) целую часть умножить на знаменатель дробной, прибавить к ней числитель дробной часть и сумму записать в числитель получившейся неправильной дроби; 2) знаменатель оставить тем же.
- Чтобы сложить два смешанных числа
, нужно отдельно сложить их целые и дробные части; если дробная часть оказалась неправильной дробью, то есть больше 1, то выделить в ней целую часть и прибавить ее к целой части, полученной на предыдущем шаге.
- Чтобы найти разность двух смешанных чисел
, нужно: из целой части уменьшаемого вычесть целую часть вычитаемого, из дробной части уменьшаемого вычесть дробную часть вычитаемого; если дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого, то занимаем одну единицу от целой части уменьшаемого и представляем ее в виде дроби.
- Основное свойство дроби
: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь:
a|b
=
a∙c|b∙c
или
a|b
=
a:c|b:c
- Сократить дробь
— значит разделить числитель и знаменатель на их общий делитель, отличный от 1.
- Несократимая дробь
— дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме 1, то есть являются взаимно простыми числами.
- Чтобы сократить дробь до несократимой
, надо разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.
- Общий знаменатель двух дробей
— это общее кратное их знаменателей
- Чтобы привести две дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно
: 1) найти наименьшее общее кратное их знаменателей, то есть наименьший общий знаменатель; 2) найти дополнительный множитель для каждой дроби, разделив наименьший общий знаменатель на знаменатель данной дроби; 3) числитель и знаменатель каждой дроби умножить на соответствующий дополнительный множитель.
Правило сложения и вычитания дробей с разными знаменателями
Давайте попробуем сложить дроби
2|3
и
2|9
Правило!
Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо:
· привести их к общему знаменателю;
· сложить или вычесть как дроби с одинаковыми знаменателями.
Приведем дроби
2|3
и
2|9
к общему знаменателю:
2|3
=
2∙3|3∙3
=
6|9
Теперь сложим:
6|9
+
2|9
=
8|9
Теперь попробуем вычесть дроби с разными знаменателями:
8|9
-
4|5
=
8∙5|9∙5
-
4∙9|5∙9
=
40|45
-
36|45
=
4|45
Разберем задачу
Задача 1.
11|20
поля засажено картофелем,
1|8
— свеклой,
1|5
— луком. Какая часть поля засажена картофелем, свеклой и луком?
Решение:
Для решения задачи сложим все части поля, засаженные картофелем, свеклой, луком. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю 40:
11|20
+
1|8
+
1|5
=
11∙2|20∙2
+
1∙5|8∙5
+
1∙8|5∙8
=
22|40
+
5|40
+
8|40
=
=
35|40
=
7|8
Ответ:
7|8
поля засажено картофелем, свеклой и луком
Складываем дроби с разными знаменателями
Пример 1.
1|7
+
2|3
Решение:
Для знаменателей 7 и 3 наименьшим общим кратным будет 21. Для первой дроби дополнительный множитель будет 3, для второй 7:
1|7
+
2|3
=
1∙3|7∙3
+
2∙7|3∙7
=
3|21
+
14|21
=
17|21
Пример 2.
3|10
+
14|15
Решение:
Для знаменателей 10 и 15 наименьшим общим кратным будет 30. Для первой дроби дополнительный множитель будет 3, для второй 2:
3|10
+
14|15
=
3∙3|10∙3
+
14∙2|15∙2
=
9|30
+
28|30
=
37|30
=
1
7|30
Пример 3.
11|48
+
5|6
Решение:
Для знаменателей 48 и 6 наименьшим общим кратным будет 48. Для второй дроби дополнительный множитель будет 8:
11|48
+
5|6
=
11|48
+
5∙8|6∙8
=
11|48
+
40|48
=
51|48
=
1
3|48
=
1
1|16
Отлично! Регулярная практика — залог хороших оценок по математике
Тренажер
Сложите дроби с разными знаменателями
Вычитаем дроби с разными знаменателями
Пример 4.
7|8
-
1|3
Решение:
Для знаменателей 8 и 3 наименьшим общим кратным будет 24. Для первой дроби дополнительный множитель будет 3, для второй — 8:
7|8
-
1|3
=
7∙3|8∙3
-
1∙8|3∙8
=
21|24
-
8|24
=
13|24
Пример 5.
9|12
-
7|10
Решение:
Для знаменателей 12 и 10 наименьшим общим знаменателем будет 60. Для первой дроби дополнительный множитель будет 5, для второй — 6:
9|12
-
7|10
=
9∙5|12∙5
-
7∙6|10∙6
=
45|60
-
42|60
=
3|60
=
1|20
Пример 6.
5|24
-
1|12
Решение:
Для знаменателей 24 и 12 наименьшим общим кратным будет 24. Вводим дополнительный множитель только для первой дроби — 2:
5|24
-
1|12
=
5|24
-
1∙2|12∙2
=
5|24
-
2|24
=
3|24
=
1|8
Тренируйте вычитание дробей онлайн
Тренажер
Найдите разность дробей с разными знаменателями
Вычисляем значение выражения
Пример 7.
1|7
+
3|4
-
4|21
В таких примерах можно сначала найти общий знаменатель для первых двух дробей, сложить, потом найти общий знаменатель для результата сложения и вычитаемого:
1|7
+
3|4
-
4|21
=
1∙4|7∙4
+
3∙7|4∙7
-
4|21
=
4|28
+
21|28
-
4|21
=
25|28
-
4|21
=
25∙3|28∙3
-
4∙4|21∙4
=
75|84
-
16|84
=
59|84
А можно сразу найти наименьшее общее кратное для трех знаменателей 7, 4 и 21 — 84. Тогда для первой дроби дополнительный множитель будет 12, для второй 21, для третьей 4:
1|7
+
3|4
-
4|21
=
1∙12|7∙12
+
3∙21|4∙21
-
4∙4|21∙4
=
12|84
+
63|84
-
16|84
=
59|84
Попробуйте решить самостоятельно
Пример 8.
9|10
-
(
1|3
+
1|2
)
Решение:
=
9|10
-
(
2|6
+
3|6
)
=
9|10
-
5|6
=
9∙3|10∙3
-
5∙5|6∙5
=
27|30
-
25|30
=
2|30
=
1|15
Продолжайте заниматься с тренажером
Тренажер
Вычислите значение выражения (сложение и вычитание)
Учимся складывать и вычитать смешанные числа с разными знаменателями
Давайте попробуем сложить два смешанных числа:
3
1|5
+
2
2|9
Правило!
Чтобы сложить или вычесть смешанные числа с разными знаменателями, надо их целые части сложить или вычесть отдельно, а дробные части сложить или вычесть как дроби с разными знаменателями.
Пользуясь переместительным и сочетательным свойствами сложения:
a|b
+
c|d
=
c|d
+
a|b
(
a|b
+
c|d
)
+
e|f
=
a|b
+
(
c|d
+
e|f
)
,
вычислим:
3
1|5
+
2
2|9
=
(
3+2
)
+
(
1|5
+
2|9
)
=
5
+
(
9|45
+
10|45
)
=
5
19|45
Решим пример с вычитанием:
45
3|8
-
34
6|7
=
(
45
-
34
)
+
(
3|8
-
6|7
)
=
11
+
(
21|56
-
48|56
)
=
=
10
+
(
56|56
+
21|56
-
48|56
)
=
10
+
29|56
=
10
29|56
Еще один пример с сложением и вычитанием смешанных чисел с разными знаменателями:
13
3|13
-
12
9|26
+
10
1|2
=
(
13
-
12
+
10
)
+
(
3|13
-
9|26
+
1|2
)
=
=
11
+
(
3∙2|13∙2
-
9|26
+
1∙13|2∙13
)
=
11
+
6-9+13|26
=
11
10|26
=
11
5|13
Видеоурок «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями»
Нет времени читать урок? Хотите закрепить материал дополнительно? Ребенку больше нравится, когда тему объясняют вслух? Включите видео!
Показываем и подробно объясняем, как складывать и отнимать друг от друга дроби с разными знаменателями. Разбираем примеры, даем упражнения на закрепление.
Скачайте задачи по теме в PDF
Хочется меньше синих мониторов? Для дополнительной практики дома используйте наш сборник примеров и задач по дробям. Разборы заданий с ответами уже внутри.
Хотите порешать примеры на листочке? Мы подготовили их в формате PDF
Не забывайте: на сайте множество классных тренажеров, которые облегчат изучение математики, русского и английского.
Сообщество
инициативных родителей
Присоединяйтесь к нашему сообществу — тут мы пишем новости
и интересности в сфере образования, а также делимся идеями
и появлением новых разделов на сайте. А еще с упоением читаем
ваши комментарии. 🧡
Если вам нравится СлонУм, пожалуйста, поддержите нас — так вы ускорите разработку новых тренажеров и разделов 🚀
